Para ver este sitio necesitás Macromedia Flash Player 6 o superior. Si puedes ver la letra "X" moviendose, es porque ya lo tienes.   Si no, descargalo gratis.

Función

Concepto de función: introducción.

 

 

1) En una clase hay cuatro alumnos: Andrés, Beatriz, Carolina y Daniel.  En resumen los llamaremos A, B, C y D. A cada alumno le asignamos un número de lista.  Cada uno tendrá un número y sólo uno. No es posible que Juan tenga el número 2 y el número 15 a la vez !!!  Esto no sería una función.   A su vez, al número de lista 3 sólo le corresponde a una persona.   Pero hay números de lista sin alumnos;  sólo hay alumnos para los números 1,2 3 y 4.     No hay un alumno que tenga el número 5.

                              funcion

2) Ahora dividimos la clase en grupos de estudio: Historia H, Geografía G y Paleontología P.

Andrés, Beatriz y Carolina prefieren H, porque estudian juntos desde siempre; a Daniel le gusta la Geografía; estudiará  sólo;  Paleontología no es elegida por ningún alumno.  Esto también es función porque cada alumno elige un sólo grupo de estudio, aunque hay grupos de estudio sin alumnos. Lo que no puede haber es alumno sin grupos de estudio; esto es, sin correspondientes.

                               funcion

A cada alumno le corresponde un grupo de estudio y sólo uno.   Pero ahora hay varios alumnos para cada grupo de estudio, o uno sólo, o incluso ninguno.  Esto también es una función, pero es distinta a la primera.  ¿Que clase de función será esta?  Ya lo veremos.

3) Ahora le preguntamos a cada estudiante que sabores prefiere entre Frutilla, Durazno y Chocolate.  Se permite elegir más de un sabor.

Andrés prefiere Durazno y Chocolate, Beatriz, Frutilla; a Carolina le gusta el Chocolate y a Daniel la crema. 

Esto NO es una función porque hay estudiantes, aunque sea uno sólo, que prefieren mas de un sabor. Esto es, que tienen más de un correspondiente.

Además Daniel eligió la "Crema" que no es una opción valida. Es este caso Daniel no tendria correspondiente. Sólo por este motivo ya no es función.

En lenguaje matemáticos, hay elementos del conjunto de partida que tienen más de un correspondiente en el conjunto de llegada.   ¿Cómo sería es esquema en este caso?

4) Ahora vamos a repartir las invitaciones para el baile del viernes de noche. Andrés recibe una, Beatriz otra, Carolina otra y Daniel no recibe invitaciones. Esto tampoco es función.  Esto No es una función porque hay un elemento del dominio, el D, que no tiene correspondiente.  ¿Te imaginás el esquema?

Definición: Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, llamados dominio y codominio, de forma tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

Clasificación de funciones:

a) Una función es inyectiva si a elementos diferentes del dominio le corresponden elementos diferentes en el codominio.  En los ejemplos anteriores, si a cada alumno le corresponde un número diferente, es una función inyectiva. Cuando a los alumnos les correspondía el mismo grupo de estudio, era una función no inyectiva.

b) Una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del codominio tienen algún correspondiente en el dominio. En el caso de los grupos de estudio, no es sobreyectiva porque hay un grupo de estudio, el de Paleontología, que no tiene correspondiente entre los alumnos.

Vamos ahora a verlo de otra forma, con un diagrama.  Trata de responder con un "si" o un "no" en cada casillero.

                      

 

Como te habrás dado cuenta, aun no habíamos visto el concepto de función biyectiva. ¿Te animás a dar una definición ?

Una función es biyectiva cuando........

 

 

Funciones y Gráficas

Vamos a ver si podemos relacionar los conceptos que vimos antes con la forma de las gráfica.

Veamos una función f, cuyo dominio es el conjunto formado por los números 1,4 y 5. El codominio es el conjunto formado por el 2 y el 3. Y la función se define como la relación que asigna al 1 con el 3; al 4 con el 2 y al 5 con el 2 también.  Esta asignación es arbitraria, "inventada".   Es común que la asignación de cada elemento con su correspondiente se haga con una "fórmula" o método general, pero también puede hacerse específicamente para cada elemento, como en este caso.

La grafica, que sólo tendrá unos poquitos puntos, es:

                     grafica

Trata de responder:

                                   

Vamos a convenir que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.

Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos  f: R ——-> R / f(x) = 2x-6

Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"

Para graficar esta función lineal, por ser de primer grado, se puede hacer una tabla de valores.

Y obtendremos una recta, como lo veremos más adelante, en el tema funcion lineal.

Por otro lado, tambien puede ser que las funciones esten definidas por intervalos. Más habitualmente se llaman funciones partidas.

——————————————————————— 

Veamos un ejercicio resuelto:

f: R ——> R / f(x) = 2x-6

¿ Esta función será inyectiva ? Para investigar esto tratemos de ver si podemos elegir dos elementos del dominio distintos, esto es, dos números reales distintos tales que haciendo las operaciones 2x-6 nos pueda dar el mismo resultado. La respuesta es no.  O sea que la función es inyectiva.

¿Esta función será sobreyectiva ? Para investigar esto tratemos de ver si  podemos elegir algún elemento del codominio que no tenga correspondiente en el dominio.  ¿ Existe algún número real que NO pueda escribirse como 2x-6 ?  Por ejemplo, el número 80 está en el codominio, porque TODOS los números reales están en el codomio. ¿ existe algún número real x tal que a ese número x le corresponda el 80 ? O sea, ¿ existe x tal que 2x-6= 80 ? Y bueno, hay que resolver la ecuación  2x-6=80,   y la solución es 43.  ¿ Para cualquier número b siempre existe x tal que 2x-6 = b  ?

La respuesta es si, porque despejando x, nos queda que x = (b+6)/2, y estas operaciones siempre se pueden hacer. Entonces la función lineal es sobreyectiva. Y como también es inyectiva, es entonces biyectiva.

Ahora podríamos ver algo sobrer el  crecimiento   de funciones.

Nos faltó ver el RECORRIDO: es el conjunto formado por todas las imágenes. El recorrido de g se escribe R(g).

Por ejemplo, si la función es f:f(x)=x² y el dominio son todos los reales. Cualquier numero real elevado al cuadrado será positivo o cero. Entonces el recorrido es el conjunto de los reales positivos o el cero.

recorrido

No hay que confundir el codominio con el recorrido. Veamos otro ejemplo.

En una escuela hay 10 salones numerados del 1 al 10. Mediante una función le asignamos un salón a cada niño. A Juan le corresponde el Salon 1 y a Pedro el Salón 7. Esa es la función.

El dominio es el conjunto formado por Juan y Pedro: el codominio son los 10 salones. El Recorrido son sólo los salones que tienen correspondientes; esto es, el recorrido es el conjunto formado por los salones 1 y 7.

 


Estudiantes     Docentes     Desafíos

Una propuesta de innovación pedagógica a través de nuevas tecnologías promovida por Microsoft de Uruguay  en el marco de su programa  Alianza por la Educación.

  Responsable del sitio web: Prof. Saúl Tenenbaum    

Montevideo - Uruguay - actualizado al 20 de junio del 2009

Se le agradece especialmente a Jessica Varela por la corrección de errores en esta página. Gracias Jessica !!!

mapa del sitio

Valid HTML 4.01 Transitional