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Crecimiento de una función 

 

 

 

Introducción: Necesitamos primeramente conocer algunos símbolos matemáticos.

¿Cómo se escribe que 3 es menor 5?    Respuesta: 3<5.

¿Qué quiere decir: 4>1 ?   Respuesta: 4 es mayor que 1.

¿Cómo podemos indicar el intervalo de todos los números reales entre 5 y 8? Esto es, queremos de alguna forma señalar a todos los números reales comprendidos entre 5 y 8. Sabemos que son todos los números mayores que 5 y a la vez menores que 8. O sea, si los llamamos genéricamente x, son los x que cumplen   5 < x < 8.

Mas ejemplos: 3 < x < 7  son todos los números reales comprendidos entre 3 y 7.

3 < x < 7  son todos los números reales comprendidos entre 3 y 7, pero incluyendo el 3.

3 < x < 7  son todos los números reales comprendidos entre 3 y 7 incluyendo el 3 y el 7.

¿Tu entiendes bien lo que significan los signos menor "<" y mayor ">" ?  ¿Necesitas otra explicación ?

I n t e r v a l o s

Llamaremos intervalo [ a , b ]  al conjunto de todos los números reales comprendidos entre a y b, incluyendo a los extremos. Definiremos a este conjunto como un intervalo cerrado.

Llamaremos intervalo ( a , b )  al conjunto de todos los números reales comprendidos entre a y b, sin incluir a los extremos. Decimos que este es un intervalo abierto .

Se llaman intervalos semiabiertos, o semicerrados, a aquellos intervalos cuyos extremos sean uno abierto y uno cerrado.

Ejemplos:

intervalo semiabierto ( -2 , 7 ]  son todos los x reales, tales que -2 < x < 7. No incluye el -2.

intervalo semiabierto [ -2 , 7 )  son todos los x reales, tales que -2 < x < 7. No incluye el 7.

intervalo abierto ( -2 , 7 )  son todos los x reales, tales que -2 < x < 7. No incluye extremos.

intervalo cerrado [ -2 , 7 ]  son todos los x reales, tales que -2 < x < 7. Incluye al -2 y al 7.

Hablemos sobre alguno cualquiera de estos conjuntos. ¿Que tal el primero?

Veamos si entendimos algo....quiere decir que el conjunto ( -2 , 7 ] termina en el 7, pero no tiene primer elemento, porque son todos los números mayores que el -2, pero NO está incluido el -2. Nos podremos acercar mucho mucho al -2, pero no está incluido el -2. 

Crecimiento de una función en un intervalo.

¿Cual te parece que podría ser una definición de función creciente? Veamos primero un ejemplo para intentar descubrirlo.......

Con 15 años Ana medía 1,65 metros.  Ahora con 16 años mide 1,77 metros. Podemos decir que ha crecido.

A las 8:00 hs tenía $ 40. Ahora, a las 12:30 hs, me quedan $ 25. ¿ Diríamos que la cantidad de dinero que tengo, en este intervalo de tiempo, es una función creciente o decreciente ?

Ahora, vamos a intentarlo mas formalmente. Supongamos que tenemos la función f(x)=3x+1.  Vamos a calcular los valores funcionales para dos valores de la variable cualquiera. Por ejemplo, en x=2 y en x=5.

f(2)=3.(2)+1   entonces f(2)=7

f(5)=3.(5)+1   entonces f(5)=16

Cuando la variable x aumenta de 2 a 5, los valores funcionales tambien aumentaron,   de 7 a 16. Al crecer la x, crece f(x). Esta función es creciente.

Ejemplo 2: Sea g(x)= -4x+17

Veamos que sucede en x=2 y en x=5.

g(2)=-4.(2)+17   entonces g(2)= 9

g(5)=-4.(5)+17   entonces g(5)= -3

Cuando la variable x aumenta de 2 a 5, los valores funcionales disminuyen, de 9 a -3. Al crecer la x, decrece g(x).  Esta función es decreciente.

DEFINICIÓN: Una función f es creciente en un intervalo  [ a , b ] si para cualquier par de valores x y z que tomemos dentro del intervalo, con x < z , se cumple que f(x) < f(z) .

DEFINICIÓN: Una función f es decreciente en un intervalo  [ a , b ] si para cualquier par de valores x y z que tomemos dentro del intervalo, con x < z , se cumple que f(x) > f(z) .

Graficamente lo podemos ver de una forma intuitiva, de la siguiente manera.

 


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Se agradece mucho la colaboración de Jessica Varela en la corrección de esta página.

Montevideo - Uruguay - actualizado al 21 de febrero del 2009

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